Várható érték

Sétálsz lent az utcán és egyszer csak egy idegen a közeledbe lép. Szeretne kötni egy fogadást veled. Egy érmét fog feldobni. Ha fejre esik tartozol neki 10$-al. Ha írásra esik ő tartozik neked 15$-ral. Ez olyan fogadásnak hangzik, amit szívesen elfogadnál? Ha elfogadod, mennyit vársz átlagosan nyereményként? Ezek fontos kérdések. Tehát kezdjük el összegyűjteni azt az információt, amire válaszokat szeretnénk kapni.

Az előző részben megtanult matematikát fogjuk használni ahhoz, hogy valóban jövedelmező szerencsejáték és a pókerben való zsetonok megszerzésének kulcsához jussunk. Kezdjük ezt egy kis ismétléssel az előző részből, a valószínűség és az oddsok vizsgálatával érmés helyzetünkben. Ne felejtsd el, hogy azt akarjuk, hogy az érme írásra essen, mert akkor tartozik nekünk $15-al.

Mi a valószínűsége, hogy az érme az írás részére essen? Emlékezz az alsó szám az összes lehetséges kimenetelt jelenti. Az érmének van fej és írás része, ez összesen csak két kimenetel. Az alsó szám tehát 2. A kedvező kimenetel amit mi szeretnénk az ugye csak az írás ami 1. A valószínűsége, hogy az írásra esik egy a kettőből. Az esetek hány százalékában fog ez megtörténni? Konvertáljuk át az -et százalékká.úgy, hogy az egyet elosztjuk kettővel, így 0,50-et kapunk. Átkonvertáljuk tizedes törté és mi 50%-ot kapunk.

Milyen esélye van annak, hogy az érme írásra essen? Egyszer megtörténik és egyszer nem. Az esélyek, hogy fejre essenek 1:2.

Nos, befejeztük a munkát. Azonban ez még csak a kezdet ahhoz, hogy eldöntsük ha elfogadjuk ezt az fogadást mennyit nyernénk átlagosan rajta. Most szeretném bemutatni azt a kifejezést, amely a nyereséges szerencsejáték alapja: várható érték. Röviden EV-nek hívják. A várható érték az átlagos pénzösszeg, amit egy fogadás esetén várhatóan nyerni vagy veszíteni lehet hosszú távon. Ha az átlagos összeg kevesebb mint nulla, akkor átlagosan veszteséges lesz a fogadás. Ezt negatív várható értékű fogadásnak nevezik (-EV). Ha az átlagos összeg több mint nulla, akkor átlagosan pénzt fogsz nyerni. Ezt pozitív várható értékű fogadásnak nevezik (+EV). Egy fogadás, ahol az átlag pontosan nulla, azaz sem nyereséget, sem veszteséget nem jelent, semleges várható értékű (neutral EV) fogadásnak tekinthető. A nyereséges szerencsejáték célja az, hogy lehetőség szerint minél több +EV fogadásban vegyünk részt, és kerüljük a -EV fogadásokat. A következő kérdésed valószínűleg az lesz „Hogyan tudom megállapítani, hogy a fogadás +EV vagy -EV-e? Íme a válasz.

Három lépés van:

1. Ismertest az összes lehetséges kimenetelt, és annak bekövetkezésének valószínűségét
2. Szorozd meg az összes kimenetel valószínűségét a hozzá tartozó eredménnyel
3. Add össze az összes eredményt a második lépésből

Térjünk vissza a pénzérmés történetünkhöz, és menjünk végig ezen a három lépésen annak érdekében, hogy kiszámoljuk a fogadás várható értékét.

1. A pénzérme csak két lehetséges kimentet tartalmaz: fej vagy írás. Mindkettő 50% valószínűséggel fordul elő. Számomra a valószínűség számolásakor a tizedes törtet (0.5) a legegyszerűbb használni. Fontos megjegyezni, hogy az összeadott százalékoknak 100%-nak kell lenniük, mivel nincsenek más lehetséges kimenetelek (feltéve, hogy soha nem landol a peremén). Tehát az első lépés kész, és tovább léphetünk a második lépésre.
2. Ha az érme a fejére esik 10$-t fogunk veszíteni. Ezt az eredményt szorozzuk meg a bekövetkezés valószínűségével.
   5 * (-$10) = (-$5)
   Most peddig jöjjön az írás része. Mikor az érme az írás részén landol mi nyerni fogunk 15$-t. Ez az esetek 50%-ban fordul elő.
   0.5 * $15 = $7.5
3. Adjuk össze a két eredményt
   (-$5) + $7.5 = $2.5

Tehát hosszútávon 2,5$-t nyerünk ezzel a fogadással.

Vegyük észre, hogy ha csak egyszer dobunk fel egy érmét sosem lesz 2,50$ dollárunk. Az EV azt mutatja meg, hogy mire számíthatunk átlagosan, ha elfogadjuk ezt a fogadást. Mivel az EV több mint nulla, ezt a fogadást +EV fogadásnak nevezzük. A +EV fogadásokban való részvétel az okos szerencsejáték része. +EV fogadásokat szeretnél kötni a pókerben, majd tömegesen előállítani őket. Képzeld el, hogy ezt a pénzérmént öt percenként ötször dobhatnád meg. Képzeld el, hogy egy perc alatt 5x dobhatnád fel ezt a pénzérmét. Az percenként 12,50$ haszon lenne. Ha egy óráig dobálnád fel az 750$ lenne.

Nézzünk meg még egy példát.

Egy barátod add neked egy kockát és azt ajánlja, hogy fizet neked 3$ amikor 2-est dobsz.  Azonban ha nem 2-est dobsz te adsz neki 1$-t. Nézzük meg ennek fogadásnak az EV-jét.

1. Minden számhoz egy kimenet tartozik a dobókockán. Mindegyik szám valószínűsége ami 0,1666 azaz 16%.
2. A 2-es dobás kimeneteli értéke 3$ nyeremény. Az 1-es, 3-as, 4-es, 5-ös és 6-os dobás kimeneteli értéke mínusz 1$.
   
   1-es dobás: 0.166*(-1$)=(-0.166$)
   2-es dobás: 0.166*3$=0.498$
   3-as dobás: 0.166*(-1$)=(-0.166$)
   4-es dobás: 0.166*(-1$)=(-0.166$)
   5-ös dobás: 0.166*(-1$)=(-0.166$)
   6-os dobás: 0.166*(-1$)=(-0.166$)
   
3. Most adjuk össze az eredményeket.
   (-$0.166)+ $0.498 + (-$0.166) + (-$0.166) + (-$0.166) + (-$0.166) = (-$0.332)

Minden dobásnak körülbelül -33 cent veszteséget számolhatunk. Az EV negatív tehát ez egy -EV fogadás. Ezek nem azok a fogadások, amiket meg szeretnénk kötni. Láthatjuk a – EV fogadások tömegtermelésének hatalmát is. Ha öt alkalommal dobhatnánk percenként, akkor percenként 1,65$-t veszítenénk. Ezt a tempót tartva egy óra alatt óránként 99$-os veszteséget szenvednénk el. Ez nem hangzik olyan fogadásnak amit megtennénk.

A pénzkeresés a pókerben arról szól, hogy minél gyakrabban legyünk részesei a +EV-s játszmákban és kerüljük a -EV játszmákat olyan gyakran amennyire csak lehet.

Kvíz

1. Valaki fejjel lefele tett négy ász-t. Egy lehetőséged van a pikk ász felhúzására. Ha felhúzod kapsz 3$-t. Ha viszont nem, te fizetsz 1$. Mennyi a várható értéke ennek a fogadásnak?
2. Van 3 fejjel lefelé állított bögre az asztalon. Az egyik alatt egy piros labda, a másik alatt egy narancsszínű labda, a harmadik alatt egy zöld labdas. Ha a zöldet húzod fel nyersz 5$-t. Ha a pirosat vesztesz 2$-t. Ha a narancsot 1$-t veszítesz. Mi a várható értéke ennek a játéknak?
3. Valaki hoz egy pakli kártyát. ha kihúzod a királyt kapsz 10$-t. Ha nem, akkor te tartozol 1$-al. Mi az EV-je ennek a fogadásnak?
4. Valaki hoz egy csomag kártyát. Ha pikket húzol ők adnak neked 4$-t. Azonban ha a pikk ászt húzod kapni fogsz 20$-t. Minden húzás 1$-ba kerül. Mi az EVje ennek a fogadásnak?
5. Valaki ad neked két dobókockát. Ha két 6-ost dobsz kapsz 37$-t. Azonban 1$-ba kerül egy fogadás. Mi az EV-je ennek a játéknak?